Web Syllabus(講義概要)

複素数の四則演算、べき級数展開とオイラーの公式、複素関数と写像、複素数の初等関数、正則関数とコーシー・リーマンの関係式、複素積分と留数、さらに等角写像と調和関数などの諸概念を理解し、Imaginary Numberを対象とする複素関数がどのように構築されてきたかを修得しましょう。
また、調和関数の流体力学、伝熱学、電磁気学への応用例などからその有用性を理解しましょう。
この科目は、ディプロマポリシーDP1に関連する科目です。

本講義では数の世界が実数から複素数へ拡大し、それに伴って関数も複素関数へ展開していった過程を説明します。この過程で関数のべき級数展開という方法が複素関数を構築する上で重要であることを理解しましょう。
複素数や複素関数はなじみにくいものですが、複素数をガウス平面で表わすと実平面をイメージすることができ、複素関数の微分や積分が理解しやすくなります。本講義で複素関数の諸概念を理解するとともに、流体力学への応用例として翼に発生する揚力が調和関数を用いて解析することができることを理解しましょう。

成績評価は次の２つの試験で行います。それぞれの評価割合を示します。
　中間テスト 25%　テストおよびテスト後の解説を後半の学習に役立てること。
　期末試験　 75%　
またフィードバックとして中間テスト、期末試験後に問題解説を行います。
中間テスト結果は各自に返却し、別途配布する練習問題などを使って理解を深めるようにしてください。また、中間試験前後にこの科目全体を概観し学習の要点を説明します。

教科書：村上雅人著『なるほど複素関数』海鳴社ISBN-13: 978-4875252061

複素数に関する演算、実数関数の微分・積分をよく理解していることが必要です。
◇ 予備学習について：講義は毎回教科書を２０ページ前後進みますのでこの範囲を１時間半ほどかけてよく読み、疑問点などをノートにまとめておき、講義に臨みましょう。
◇ 復習について：教科書を必ず読み返し、定義などまず覚えるべきところはしっかり覚え、教科書の練習問題は解けるまできちんとノートに書いて繰り返し取り組みましょう。個人差はあると思いますが毎回1時間半以上はかけ復習をしましょう。
中間テスト終了時に練習問題をプリントして配布しますので、論理を理解して正解が得られるよう何度も練習しましょう。
当該期間に36時間以上が上記の予復習に必要です。

複素関数というと大変難しい科目のように聞こえますが、三角関数や指数関数、微分積分の知識、弧度法など高校から大学初年度に習う事項を理解して使えるようになっているかが大事です。実関数のテイラー展開をよく理解し、これが複素関数の定義に使われているところに着目しましょう。
ノートはしっかりとることが必要です。教科書には練習問題が多く記載されていますので、自分のノートに解答を書いて何度も練習しましょう。
関連科目　：　翼まわりの流れ学
参考図書　：　志賀浩二著「数学７日間の旅」紀伊国屋書店は複素関数の理解を助ける非常によい本ですが、残念ながら数年前に絶版となってしまいました。

【第１回】

虚数と複素数　　　（虚数とは、２次方程式の根と判別式、数の分類と複素数）

【第２回】

虚数と複素数　　　（複素数の加減乗除、複素平面、複素数とベクトル）

【第３回】

関数のべき級数展開

【第４回】

オイラーの公式とその応用　（１のn乗根、ド・モアブルの定理）

【第５回】

複素平面と極形式

【第６回】

複素数の関数　　　（写像、複素変数の２次関数）

【第７回】

複素数の関数　　　（実関数のべき級数展開式、複素変数の初等関数）

【第８回】

複素関数と微分　　（特異点、正則関数、コーシー・リーマンの関係式）

【第９回】

複素間数の積分　　（べき級数の積分、実関数の積分公式、積分経路）

【第10回】

複素積分（周回積分、コーシーの積分定理）

【第11回】

中間試験 問題の解説

【第12回】

複素積分（留数、ローラン展開、極）

【第13回】

複素積分（実数積分への応用）

【第14回】

等角写像（初等関数の等角写像、ジューコウスキー変換）

【第15回】

調和関数（ラプラス方程式、等角写像の応用）